Álxebra Lineal: Autovalores e autovectores

En Wikibooks, o Galilibros en galego.

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial

3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais

7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas

[editar] Autovetores e autovalores

‘‘‘Definición’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre K. Un vector non nulo do espazo vectorial ‘‘‘V’‘‘ é dito un autovector de ‘‘‘T’‘‘ se existir un $\lambda \in K$ tal que $T (v) = λ v$ . Neste caso, $λ$ é dito autovalor de T.

‘‘‘Demostración’‘‘:

Se ‘‘‘v’‘‘ é un autovector de T asociado ao autovalor $λ$ , entón $av \, (a \in K)$ tamén é un autovector asociado a $λ$ .
O conxunto $V_\lambda = \{ v \in V | T(v) = \lambda v \}$ é un subespazo vectorial de V (chámase de autoespazo). Note que $V λ$ é o conxunto de todos os autovectores asociados a $λ$ unido ao vector nulo.

[editar] Autovetores dunha matriz pistada

‘‘‘Definición’‘‘: Un autovalor dunha matriz $A_{n\times n}$ é un escalar $\lambda \in K$ tal que existe un vector ‘‘‘X’‘‘, con $A X = λ X$ , onde X se chama autovector de A asociado a $λ$ .

$X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

[editar] Polinomio característico

‘‘‘Definición’‘‘: Sexa ‘‘‘A’‘‘ unha matriz pistada de orde ‘‘‘n’‘‘. O polinomio $p (λ) = d e t (A - λ I)$ chámase polinomio característico de ‘‘‘A’‘‘.

‘‘‘Demostración’‘‘:

Sexa $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ unha base de ‘‘‘V’‘‘, e ‘‘‘v’‘‘ un autovector de ‘‘‘T’‘‘ asociado ao autovalor $λ$ . Entón $v] α$ é un autovector da matriz $[T] α$ asociado ao autovalor $λ$ de $[T] α$
Se $α$ e $β$ son dúas bases calquera de ‘‘‘V’‘‘, entón o polinomio característico de $[T] α$ é igual ao polinomio característico de $[T] β$ .

[editar] Operador diagonalizábel

‘‘‘Definición’‘‘: Un operador ‘‘‘T’‘‘ considérase ‘‘diagonalizábel’‘ se existe unha base $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ de ‘‘‘V’‘‘ tal que $[T] α$ é unha matriz diagonal.

‘‘‘Definición’‘‘: Dúas matrices pistadas de mesma orde, ‘‘‘A’‘‘ e ‘‘‘B’‘‘, son ditas ‘‘semellantes’‘ se existir unha matriz ‘‘‘P’‘‘, de mesma orde, inversíbel, tal que $B = P - 1 A P$ .

‘‘‘Definición’‘‘: Unha matriz $A n$ é considerada ‘‘diagonalizábel’‘ se $A n$ fose semellante a unha matriz diagonal ‘‘‘D’‘‘ (ou sexa, existe unha matriz P, inversíbel, tal que $D = P - 1 A P$ ).

‘‘‘Demostración’‘‘:

Se $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ son autovectores de ‘‘‘T’‘‘ asociados, respectivamente, aos autovectores $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ tales que $\lambda_i \ne \lambda_x$ se $i \ne x$ , entón $α$ é LI.
Sexa $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ unha base de V. A matriz $[T] α$ é diagonal $\iff \alpha$ é unha base de ‘‘‘V’‘‘ formada por autovectores de ‘‘‘T’‘‘
Se ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto e $λ$ é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón $\lambda \in R$ .
Se ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto e $v_1, \ldots, v_n$ son autovectores de ‘‘‘T’‘‘ asociados aos autovalores $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ (distintos), respectivamente, entón $v_i \perp v_x$ , se $i \ne x$ .
Se ‘‘‘T’‘‘ é unitario e $λ$ é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón $| λ | = 1$ .
Se $λ$ é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘ e ‘‘‘T’‘‘ é normal, entón $\overline{\lambda}$ é autovalor de $T *$ .
$V λ$ é ‘‘‘T’‘‘-invariante.
$V_\lambda^\perp$ é $T *$ -invariante.
Se ‘‘‘T’‘‘ é normal e $λ$ é autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón $V^\perp$ é $T *$ -invariante.
Se ‘‘‘T’‘‘ é normal, entón $V_\lambda^\perp$ é ‘‘‘T’‘‘-invariante.