Proposicións
As afirmacións que forman parte dos argumentos lóxicos teñen unha propiedade especial: que son ou verdadeiras ou falsas, e que non poden ser nada máis. As afirmacións que son ou ben verdadeiras ou ben falsas denomínanse proposicións.
Por exemplo, a afirmación «o programa informático ten un erro» é unha proposición se é ou verdadeira ou falsa. Só se dispón de dúas opcións ben diferenciadas; isto é o que se coñece como unha dicotomía.
Isto pode causar problemas. Por exemplo, considérese a seguinte afirmación: «a palabra “bolboreta” está moi húmida». Normalmente podería dicirse que esta afirmación carece de sentido. Pero se admitimos a posibilidade de unha afirmación «carente de sentido», admitimos que existe unha terceira categoría —ademais de «verdadeira» e «falsa»— e xa non estariamos falando de proposicións.
Por suposto, é imposible asociar valores verdadeiros con ordes ou preguntas, polo que estas non poden ser proposicións.
Moitas das afirmacións que realizamos no día a día non son completamente verdadeiras nin completamente falsas. Por exemplo, se un programa dá un resultado inesperado, a miúdo non está claro se isto é debido a un erro ou simplemente é unha consecuencia dunhas especificacións incorrectas. Porén, a lóxica só funciona en “branco e negro”, coa verdade e a falsidade, e calquera cousa que non encaixe nesa dicotomía descártase.
As variables como P, Q ou R mencionadas previamente denomínanse variables proposicionais. As variables proposicionais só poden asumir dous valores, verdadeiro ou falso.
Tamén existen dúas constantes proposicionais, V (verdadeiro) e F (falso).
A calquera variable proposicional pódeselle asignar o valor V ou F. Por exemplo, á variable P pódeselle asignar o valor V. A única outra posible asignación para P é F.
No caso das expresións podemos falar dunha asignación. Unha asignación da expresión A consiste en asignar a cada variable un valor de verdade. Por exemplo, unha posible asignación da proposición «P ou Q» sería P = F, Q = V, pero hai outras.
As variables proposicionais e as constantes proposicionais son proposicións atómicas, é dicir, que non poden dividirse. Unha proposición que consta dunha única variable proposicional ou unha única constante proposicional denomínase proposición atómica.
Combinando varias proposicións atómicas obtéñense proposicións compostas (tamén denominadas proposicións moleculares). Toda proposición non atómica denomínanse proposición composta. Por exemplo, «P ou Q» é unha proposición composta, igual que «P e Q» e «non P».
A función das palabras «ou», «e» e «non» é combinar as proposicións; falamos de conexións lóxicas. Todas as proposicións compostas conteñen polo menos unha conexión lóxica.
Unha vez aclarado o que é unha proposición, débese asociar con cada proposición e con cada asignación un único valor de verdade.
- O valor de verdade dunha proposición atómica provén directamente da asignación.
- O valor de verdade dunha proposición composta calcúlase mediante regras que se deben establecer.
Por exemplo, coas asignacións «P = V» e «Q = F», «P ou Q» produciría V. Para entendelo mellor, pode interpretarse cada proposición como «[proposición] é verdadeiro». Así, «P ou Q» traduciríase como «P é verdadeiro ou Q é verdadeiro», e se P é verdadeiro e Q é falso, «P ou Q» é verdadeiro.
É máis difícil atopar o valor de verdade dunha asignación para unha proposición máis complexa. Pero independentemente da complexidade da proposición, pódese usar unha táboa de verdade para facilitar a tarefa.
Unha táboa de verdade dunha proposición dá os valores de verdade da proposición para todas as asignacións posibles.