Álxebra Lineal: Formas bilineais e cuadráticas

En Wikibooks, o Galilibros en galego.

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial

3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais

7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas

Índice

1 Formas bilineares
2 Formas cuadráticas
- 2.1 Fórmulas de polarización

[editar] Formas bilineares

‘‘‘Definición’‘‘: Unha función ‘‘g’‘ do produto cartesiano $V \times V \rightarrow K$ (onde ‘‘V’‘ é un espazo vectorial de dimensión finita sobre o corpo ‘‘K’‘) é dita ‘‘‘bilinear’‘‘ se, $\forall u, v, w \in V, \lambda \in K$ :

$g (u + v, w) = g (u, w) + g (v, w)$
$g (λ u, v) = λ g (u, v)$
$g (u, v + w) = g (u, v) + g (v, w)$
$g (u,λ v) = λ g (u, v)$

[editar] Exemplos

Produto interno nun espazo vectorial real;
$f: V \times V \rightarrow K$ , tal que $f(u,v) = 0, \forall u, v \in V$ .

[editar] Contra-exemplos

Produto interno nun espazo vectorial complexo;
$f: V \times V \rightarrow K$ , tal que $f(u,v) = 3, \forall u, v \in V$ ;

[editar] Matriz asociada a unha forma bilinear

Sexan $g: V \times V \rightarrow K$ unha forma bilinear, e $\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ unha base de ‘‘V’‘. Sexan ‘‘X’‘ e ‘‘Y’‘ dous vectores de V, baixo a forma de matriz columna:

$X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, Y = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$

Entón:

$g(X, Y) = X^t A Y \,$ ,

onde ‘‘A’‘ é a matriz asociada á forma bilinear ‘‘g’‘.

A matriz ‘‘A’‘ dáse por:

$\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$

onde $a_{ix} = f(v_i, v_x) \,$

[editar] Formas bilineares simétricas

Unha forma bilinear $g: V \times V \rightarrow K$ é dita ‘‘‘simétrica’‘‘ se $g (u, v) = g (v, u)$

‘‘‘Proposición’‘‘: $g: V \times V \rightarrow K$ é unha forma bilinear simétrica se, e soamente se, a matriz asociada á forma bilinear é simétrica en calquera base de ‘‘V’‘.

[editar] Formas cuadráticas

Dada unha forma bilinear simétrica $g: V \times V \rightarrow K$ , definimos unha función $f: V \rightarrow K$ , definida por $f (v) = g (v, v)$ , chamada ‘‘‘forma cuadrática’‘‘ asociada á forma bilinear ‘‘g’‘.

Note que:

$f (u + v) = f (u) + 2 g (u, v) + f (v)$
$f (λ v) = λ 2 f (v)$

[editar] Fórmulas de polarización

As ‘‘‘fórmulas de polarización’‘‘ permiten que, dada a forma cuadrática ‘‘f’‘, se descubra a forma bilinear ‘‘g’‘ que a orixinou. Eis dúas desas fórmulas: