Álxebra Lineal: Produto interno

En Wikibooks, o Galilibros en galego.

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial

3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais

7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas

En Álxebra Lineal, chamamos produto interno a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Índice

1 Definición
- 1.1 Exemplos
2 Vetores ortogonais
3 Complemento ortogonal
4 Norma
5 Proxeción ortogonal
- 5.1 Proxeción dun vector v na dirección dun vector u, en que u ≠ 0
- 5.2 Proxeción dun vector ‘‘v’‘ sobre un subespazo vectorial ‘‘W’‘ de ‘‘V’‘
6 Desigualdade de Cauchy-Schwarz
7 Desigualdade triangular
8 Base ortogonal e ortonormal
9 Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
10 Distancia entre dous vectores
11 Mellor aproximación dun vector v de V por un vector de W, subespazo vectorial de V

[editar] Definición

Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre un corpo ‘‘‘K’‘‘. En ‘‘‘V’‘‘, pódese definir a función binaria $\langle \cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow K$ (denominada ‘‘‘produto interno’‘‘), que satisfai os seguintes axiomas:

$\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle }$

$\langle u+v, w\rangle = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle$

$\langle \lambda u, v\rangle = \lambda \langle u, v\rangle$

Se $v \ne 0$ , entón $\langle v, v\rangle$ >

0

en que ‘‘u’‘, ‘‘v’‘ e ‘‘w’‘ son vectores de ‘‘‘V’‘‘, e ‘‘λ’‘ é un elemento de ‘‘‘K’‘‘.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

$\langle u, v+w\rangle = \langle u, v\rangle + \langle u, w\rangle$

$\langle u, \lambda v\rangle = \overline{\lambda}\langle u,v\rangle$

Se

v = 0

, entón $\langle v, v\rangle = 0$

Se $\langle v, v\rangle = 0$ , entón

v = 0

[editar] Exemplos

O produto escalar sobre o espazo vectorial $\mathbb{R}^3$ satisfai os axiomas do produto interno e defínese por:

$\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Se ‘‘f’‘ e ‘‘g’‘ son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

$\langle f, g \rangle = \int f(x)\overline{g(x)}\,dx$

[editar] Vetores ortogonais

Dise que dous vectores $u, v \in V$ son ‘‘‘ortogonais’‘‘ se $\langle u, v\rangle = 0$ .

Consecuencias:

Se $\langle u, v\rangle = 0, \forall v \in V$ , entón

u = 0

Se $\langle T(u), v\rangle = 0, \forall u,v \in V$ , entón

T = 0

[editar] Complemento ortogonal

Sexa $v \in V, v \ne 0$

Defínese o complemento ortogonal de ‘‘v’‘, $v^\perp$ , como:

$v^\perp = \{ v \}^\perp = \{ u \in V | \langle u, v \rangle = 0 \}.$

Consecuencias:

$v^\perp$ é un subespazo vectorial de V

Sexa

W

un subespazo vectorial de V, e $\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ unha base de

W

. $v \in W^\perp \iff v \in v_i^\perp, i = 1, \ldots, n$

$(W^\perp)^\perp = W$ , W é subespazo de V.

[editar] Norma

Sexa ‘‘V’‘ un espazo vectorial sobre o corpo ‘‘K’‘, con produto interno. Defínese a ‘‘‘norma’‘‘ ou ‘‘‘lonxitude’‘‘ dun vector $v \in V$ como sendo o número $\sqrt{\langle v, v \rangle}$ , que indicamos por $| v |$ .