Álxebra Lineal: Operadores especiais

En Wikibooks, o Galilibros en galego.

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial

3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais

7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas

[editar] Operadores especiais

Auto-adxunto ( $T * = T$ )
Unitario ( $T * = T - 1$ )
Normal ( $T * T = T T *$ )

[editar] Operador auto-adxunto

‘‘‘Definición’‘‘: $T: V \rightarrow V$ chámase auto-adxunto se $T * = T$ .

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é auto-adxunta se $\overline{A}^t = A$ .

Se $K = R$ , $[T] α$ chámase simétrica.
Se $K = C$ , $[T] α$ chámase hermitiana.

Os seguintes enunciados son útiles na proba de teoremas do operador auto-adxunto:

Se $\langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V$ , entón

T = 0

.

Se ‘‘‘V’‘‘ é complexo e $\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V$ , entón

T = 0

.

‘‘‘Prove’‘‘:

Se $T * = T$ e $\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V$ , entón $T = 0$ .
Sexa $T: V \rightarrow V$ , con ‘‘‘V’‘‘ complexo. Entón $T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R$ .

[editar] Operador unitario

‘‘‘Definición’‘‘: $T: V \rightarrow V$ chámase unitario se $T * = T - 1$ .

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é unitaria se ${\overline{A}}^t = A^{-1}$

‘‘‘Demostración’‘‘:

‘‘‘T’‘‘ é unitario $\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle$ (‘‘‘T’‘‘ preserva o produto interno)
‘‘‘T’‘‘ é unitario $\iff |T(u)| = |u|$ (‘‘‘T’‘‘ preserva a norma)
‘‘‘T’‘‘ é unitario $\iff T^{-1}$ é unitario

[editar] Operador normal

‘‘‘Definición’‘‘: $T: V \rightarrow V$ chámase normal se $T T * = T * T$ .

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é normal se $A A * = A * A$

‘‘‘Demostración’‘‘:

Todo operador auto-adxunto é normal
Todo operador unitario é normal

É importante salientar, aínda, que existen operadores normais que non son unitarios nin auto-adxuntos.

[editar] Subespazo invariante

‘‘‘Definición’‘‘: ‘‘‘W’‘‘, subespazo vectorial de ‘‘‘V’‘‘, é dito invariante baixo o operador $T: V \rightarrow V$ , se $T(W) \subset W$ . Dicimos tamén que ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante).

‘‘‘Demostración’‘‘:

Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante, entón $W^\perp$ é $T *$ -invariante.
Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto, entón ‘‘‘W’‘‘ é $T *$ -invariante.
Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón $T (W) = W$ .
Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón ‘‘‘W’‘‘ é $T - 1$ -invariante e $T - 1 (W) = W$ .
Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón ‘‘‘W’‘‘ é $T - 1$ -invariante (ou $T *$ -invariante).
Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón $W^\perp$ é ‘‘‘T’‘‘-invariante.