Álxebra Lineal: Funcionais lineais

En Wikibooks, o Galilibros en galego.

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas


[editar] Funcionais Lineais

‘‘‘Definición’‘‘: Unha función f: V \rightarrow K , onde V é un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, chámase funcional lineal se, \forall u, v \in V e \forall \lambda \in K:

f(u + v) = f(u) + f(v)
f(λv) = λf(v)

‘‘‘Teorema da existencia e unicidade’‘‘: Se ‘‘‘V’‘‘ é un espazo vectorial de dimensión ‘‘n’‘ e \alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \} é unha base de ‘‘‘V’‘‘, entón existe un único funcional ‘‘f’‘, tal que f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K

‘‘‘Teorema da base dual’‘‘: Se ‘‘‘V’‘‘ é un espazo vectorial, dinV = n e \beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_3\} é unha base de V, entón existe unha única base \beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\} de V * tal que fi(vx) = δix

‘‘‘Definicións’‘‘:

β * chámase base dual de β
V * chámase espazo dual de V

‘‘‘Corolarios’‘‘:

f = \sum f(v_i)f_i
v = \sum f_i(v)v_i

[editar] Teorema de representación dos funcionais lineares

Sexan ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, dinV = n, con produto interno, e f: V \rightarrow K un funcional lineal. Entón existe un único vector v_o \in V, tal que f(v) = \langle v, v_o \rangle, \forall v \in V.

Demostrase aínda que v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i

---++ Adxunta dun operador lineal

Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial.

O operador adxunto, T^* : V \rightarrow V , dun determinado operador lineal T : V \rightarrow V defínese pola igualdade:

\langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V

Demóstrase que todo operador lineal posúe un e apenas un operador adxunto correspondente.

A partir da definición, podemos obter as seguintes consecuencias:

(S + T) * = S * + T *
(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*
(S \circ T)^* = T^* \circ S^*

‘‘‘Proposición’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, dinV = n, con produto interno. Sexa \alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\} unha base ortonormal de ‘‘‘V’‘‘. Entón [T]α = (aix), onde a_{ix} = \langle T(e_x), e_i \rangle

‘‘‘Corolario’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, dinV = n, con produto interno. Entón, para calquera base \alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\} ortonormal de ‘‘‘V’‘‘, temos que a matriz [T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t.

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas
Traído desde "http://gl.wikibooks.org/wiki/%C3%81lxebra_Lineal:_Funcionais_lineais"
Ferramentas personais