Álxebra Lineal: Autovalores e autovectores

En Galilibros, o Wikibooks en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas


Autovetores e autovalores[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre K. Un vector non nulo do espazo vectorial ‘‘‘V’‘‘ é dito un autovector de ‘‘‘T’‘‘ se existir un tal que . Neste caso, é dito autovalor de T.

‘‘‘Demostración’‘‘:

  • Se ‘‘‘v’‘‘ é un autovector de T asociado ao autovalor , entón tamén é un autovector asociado a .
  • O conxunto é un subespazo vectorial de V (chámase de autoespazo). Note que é o conxunto de todos os autovectores asociados a unido ao vector nulo.

Autovetores dunha matriz pistada[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: Un autovalor dunha matriz é un escalar tal que existe un vector ‘‘‘X’‘‘, con , onde X se chama autovector de A asociado a .

Polinomio característico[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: Sexa ‘‘‘A’‘‘ unha matriz pistada de orde ‘‘‘n’‘‘. O polinomio chámase polinomio característico de ‘‘‘A’‘‘.

‘‘‘Demostración’‘‘:

  • Sexa unha base de ‘‘‘V’‘‘, e ‘‘‘v’‘‘ un autovector de ‘‘‘T’‘‘ asociado ao autovalor . Entón é un autovector da matriz asociado ao autovalor de
  • Se e son dúas bases calquera de ‘‘‘V’‘‘, entón o polinomio característico de é igual ao polinomio característico de .

Operador diagonalizábel[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: Un operador ‘‘‘T’‘‘ considérase ‘‘diagonalizábel’‘ se existe unha base de ‘‘‘V’‘‘ tal que é unha matriz diagonal.

‘‘‘Definición’‘‘: Dúas matrices pistadas de mesma orde, ‘‘‘A’‘‘ e ‘‘‘B’‘‘, son ditas ‘‘semellantes’‘ se existir unha matriz ‘‘‘P’‘‘, de mesma orde, inversíbel, tal que .

‘‘‘Definición’‘‘: Unha matriz é considerada ‘‘diagonalizábel’‘ se fose semellante a unha matriz diagonal ‘‘‘D’‘‘ (ou sexa, existe unha matriz P, inversíbel, tal que ).

‘‘‘Demostración’‘‘:

  • Se son autovectores de ‘‘‘T’‘‘ asociados, respectivamente, aos autovectores tales que se , entón é LI.
  • Sexa unha base de V. A matriz é diagonal é unha base de ‘‘‘V’‘‘ formada por autovectores de ‘‘‘T’‘‘
  • Se ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto e é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón .
  • Se ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto e son autovectores de ‘‘‘T’‘‘ asociados aos autovalores (distintos), respectivamente, entón , se .
  • Se ‘‘‘T’‘‘ é unitario e é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón .
  • Se é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘ e ‘‘‘T’‘‘ é normal, entón é autovalor de .
  • é ‘‘‘T’‘‘-invariante.
  • é -invariante.
  • Se ‘‘‘T’‘‘ é normal e é autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón é -invariante.
  • Se ‘‘‘T’‘‘ é normal, entón é ‘‘‘T’‘‘-invariante.
ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas