Álxebra Lineal: Autovalores e autovectores

Autovetores e autovalores

‘‘‘Definición’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre K. Un vector non nulo do espazo vectorial ‘‘‘V’‘‘ é dito un autovector de ‘‘‘T’‘‘ se existir un $\lambda \in K$ tal que $T(v)=\lambda v$. Neste caso, $\lambda$ é dito autovalor de T.

‘‘‘Demostración’‘‘:

• Se ‘‘‘v’‘‘ é un autovector de T asociado ao autovalor $\lambda$, entón $av\,(a\in K)$ tamén é un autovector asociado a $\lambda$.
• O conxunto $V_{\lambda }=\{v\in V|T(v)=\lambda v\}$ é un subespazo vectorial de V (chámase de autoespazo). Note que $V_{\lambda }$ é o conxunto de todos os autovectores asociados a $\lambda$ unido ao vector nulo.

Autovetores dunha matriz pistada

‘‘‘Definición’‘‘: Un autovalor dunha matriz $A_{n\times n}$ é un escalar $\lambda \in K$ tal que existe un vector ‘‘‘X’‘‘, con $AX=\lambda X$, onde X se chama autovector de A asociado a $\lambda$.

$X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Polinomio característico

‘‘‘Definición’‘‘: Sexa ‘‘‘A’‘‘ unha matriz pistada de orde ‘‘‘n’‘‘. O polinomio $p(\lambda )=det(A-\lambda I)$ chámase polinomio característico de ‘‘‘A’‘‘.

‘‘‘Demostración’‘‘:

• Sexa $\alpha =\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ unha base de ‘‘‘V’‘‘, e ‘‘‘v’‘‘ un autovector de ‘‘‘T’‘‘ asociado ao autovalor $\lambda$. Entón $v]_{\alpha }$ é un autovector da matriz $[T]_{\alpha }$ asociado ao autovalor $\lambda$ de $[T]_{\alpha }$
• Se $\alpha$ e $\beta$ son dúas bases calquera de ‘‘‘V’‘‘, entón o polinomio característico de $[T]_{\alpha }$ é igual ao polinomio característico de $[T]_{\beta }$.

Operador diagonalizábel

‘‘‘Definición’‘‘: Un operador ‘‘‘T’‘‘ considérase ‘‘diagonalizábel’‘ se existe unha base $\alpha =\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ de ‘‘‘V’‘‘ tal que $[T]_{\alpha }$ é unha matriz diagonal.

‘‘‘Definición’‘‘: Dúas matrices pistadas de mesma orde, ‘‘‘A’‘‘ e ‘‘‘B’‘‘, son ditas ‘‘semellantes’‘ se existir unha matriz ‘‘‘P’‘‘, de mesma orde, inversíbel, tal que $B=P^{-1}AP$.

‘‘‘Definición’‘‘: Unha matriz $A_{n}$ é considerada ‘‘diagonalizábel’‘ se $A_{n}$ fose semellante a unha matriz diagonal ‘‘‘D’‘‘ (ou sexa, existe unha matriz P, inversíbel, tal que $D=P^{-1}AP$).

‘‘‘Demostración’‘‘:

• Se $\alpha =\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ son autovectores de ‘‘‘T’‘‘ asociados, respectivamente, aos autovectores $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ tales que $\lambda _{i}\neq \lambda _{x}$ se $i\neq x$, entón $\alpha$ é LI.
• Sexa $\alpha =\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ unha base de V. A matriz $[T]_{\alpha }$ é diagonal $\iff \alpha$ é unha base de ‘‘‘V’‘‘ formada por autovectores de ‘‘‘T’‘‘
• Se ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto e $\lambda$ é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón $\lambda \in R$.
• Se ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto e $v_{1},\ldots ,v_{n}$ son autovectores de ‘‘‘T’‘‘ asociados aos autovalores $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ (distintos), respectivamente, entón $v_{i}\perp v_{x}$, se $i\neq x$.
• Se ‘‘‘T’‘‘ é unitario e $\lambda$ é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón $|\lambda |=1$.
• Se $\lambda$ é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘ e ‘‘‘T’‘‘ é normal, entón ${\overline {\lambda }}$ é autovalor de $T^{*}$.
• $V_{\lambda }$ é ‘‘‘T’‘‘-invariante.
• $V_{\lambda }^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se ‘‘‘T’‘‘ é normal e $\lambda$ é autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón $V^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se ‘‘‘T’‘‘ é normal, entón $V_{\lambda }^{\perp }$ é ‘‘‘T’‘‘-invariante.