Álxebra Lineal: Produto interno

En Galilibros, o Wikibooks en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas


En Álxebra Lineal, chamamos produto interno a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definición[editar]

Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre un corpo ‘‘‘K’‘‘. En ‘‘‘V’‘‘, pódese definir a función binaria (denominada ‘‘‘produto interno’‘‘), que satisfai os seguintes axiomas:

Se , entón >

en que ‘‘u’‘, ‘‘v’‘ e ‘‘w’‘ son vectores de ‘‘‘V’‘‘, e ‘‘λ’‘ é un elemento de ‘‘‘K’‘‘.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

Se , entón
Se , entón

Exemplos[editar]

O produto escalar sobre o espazo vectorial satisfai os axiomas do produto interno e defínese por:

Se ‘‘f’‘ e ‘‘g’‘ son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

Vetores ortogonais[editar]

Dise que dous vectores son ‘‘‘ortogonais’‘‘ se .

Consecuencias:

Se , entón
Se , entón

Complemento ortogonal[editar]

Sexa

Defínese o complemento ortogonal de ‘‘v’‘, , como:

Consecuencias:

é un subespazo vectorial de V
Sexa un subespazo vectorial de V, e unha base de .
, W é subespazo de V.

Norma[editar]

Sexa ‘‘V’‘ un espazo vectorial sobre o corpo ‘‘K’‘, con produto interno. Defínese a ‘‘‘norma’‘‘ ou ‘‘‘lonxitude’‘‘ dun vector como sendo o número , que indicamos por .

Consecuencias:

Se , entón
Se , entón (Teorema de Pitágoras)

Proxeción ortogonal[editar]

Proxeción dun vector v na dirección dun vector u, en que u ≠ 0[editar]

Defínese ‘‘‘esa’‘‘ proxeción como sendo o vector

Proxeción dun vector ‘‘v’‘ sobre un subespazo vectorial ‘‘W’‘ de ‘‘V’‘[editar]

Sexa , en que é unha base ortogonal de ‘‘W’‘.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz[editar]

Dados , entón

Desigualdade triangular[editar]

Base ortogonal e ortonormal[editar]

Unha base de V é dita ortonormal se , en que

, se i = x
, se i ≠ x

A base é ortogonal se os vectores son ortogonais dous a dous.

Propiedade: ‘‘n’‘ vectores non-nulos e ortogonais dous a dous, nun espazo de dimensión ‘‘n’‘, son linearmente independentes.

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt[editar]

Dada unha base de V, podemos atopar, a partir desta base, unha base ortogonal de V.

Distancia entre dous vectores[editar]

Defínese a distancia entre dous vectores calquera, ‘‘u’‘ e ‘‘v’‘, como sendo

Unha función distancia ten as seguintes propiedades:

Fallou a conversión do código (descoñécese a función "\xe"): {\displaystyle d(u, v) \xe 0}

Tales propiedades poden ser facilmente verificadas pola definición de norma.

Mellor aproximación dun vector v de V por un vector de W, subespazo vectorial de V[editar]

Se , entón u é o vector de W que dá a aproximación máis adecuada de v por un vector de W.

Demostrase que

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas