Álxebra Lineal: Formas bilineais e cuadráticas

En Galilibros, o Wikibooks en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas

Formas bilineares[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: Unha función ‘‘g’‘ do produto cartesiano (onde ‘‘V’‘ é un espazo vectorial de dimensión finita sobre o corpo ‘‘K’‘) é dita ‘‘‘bilinear’‘‘ se, :

Exemplos[editar]

  • Produto interno nun espazo vectorial real;
  • , tal que .

Contra-exemplos[editar]

  • Produto interno nun espazo vectorial complexo;
  • , tal que ;

Matriz asociada a unha forma bilinear[editar]

Sexan unha forma bilinear, e unha base de ‘‘V’‘. Sexan ‘‘X’‘ e ‘‘Y’‘ dous vectores de V, baixo a forma de matriz columna:

Entón:

,

onde ‘‘A’‘ é a matriz asociada á forma bilinear ‘‘g’‘.

A matriz ‘‘A’‘ dáse por:

onde

Formas bilineares simétricas[editar]

Unha forma bilinear é dita ‘‘‘simétrica’‘‘ se

‘‘‘Proposición’‘‘: é unha forma bilinear simétrica se, e soamente se, a matriz asociada á forma bilinear é simétrica en calquera base de ‘‘V’‘.

Formas cuadráticas[editar]

Dada unha forma bilinear simétrica , definimos unha función , definida por , chamada ‘‘‘forma cuadrática’‘‘ asociada á forma bilinear ‘‘g’‘.

Note que:

Fórmulas de polarización[editar]

As ‘‘‘fórmulas de polarización’‘‘ permiten que, dada a forma cuadrática ‘‘f’‘, se descubra a forma bilinear ‘‘g’‘ que a orixinou. Eis dúas desas fórmulas:

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas