Álxebra Lineal: Operadores especiais

En Galilibros, o Wikibooks en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas


Operadores especiais[editar]

  • Auto-adxunto ()
  • Unitario ()
  • Normal ()

Operador auto-adxunto[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: chámase auto-adxunto se .

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é auto-adxunta se .

  • Se , chámase simétrica.
  • Se , chámase hermitiana.

Os seguintes enunciados son útiles na proba de teoremas do operador auto-adxunto:

Se , entón .
Se ‘‘‘V’‘‘ é complexo e , entón .

‘‘‘Prove’‘‘:

  • Se e , entón .
  • Sexa , con ‘‘‘V’‘‘ complexo. Entón .

Operador unitario[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: chámase unitario se .

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é unitaria se


‘‘‘Demostración’‘‘:

  • ‘‘‘T’‘‘ é unitario (‘‘‘T’‘‘ preserva o produto interno)
  • ‘‘‘T’‘‘ é unitario (‘‘‘T’‘‘ preserva a norma)
  • ‘‘‘T’‘‘ é unitario é unitario

Operador normal[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: chámase normal se .

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é normal se

‘‘‘Demostración’‘‘:

  • Todo operador auto-adxunto é normal
  • Todo operador unitario é normal

É importante salientar, aínda, que existen operadores normais que non son unitarios nin auto-adxuntos.

Subespazo invariante[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: ‘‘‘W’‘‘, subespazo vectorial de ‘‘‘V’‘‘, é dito invariante baixo o operador , se . Dicimos tamén que ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante).

‘‘‘Demostración’‘‘:

  • Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante, entón é -invariante.
  • Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto, entón ‘‘‘W’‘‘ é -invariante.
  • Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón .
  • Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón ‘‘‘W’‘‘ é -invariante e .
  • Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón ‘‘‘W’‘‘ é -invariante (ou -invariante).
  • Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón é ‘‘‘T’‘‘-invariante.
ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas