Álxebra Lineal: Funcionais lineais

En Galilibros, o Wikibooks en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas


Funcionais Lineais[editar]

‘‘‘Definición’‘‘: Unha función , onde V é un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, chámase funcional lineal se, e :

‘‘‘Teorema da existencia e unicidade’‘‘: Se ‘‘‘V’‘‘ é un espazo vectorial de dimensión ‘‘n’‘ e é unha base de ‘‘‘V’‘‘, entón existe un único funcional ‘‘f’‘, tal que

‘‘‘Teorema da base dual’‘‘: Se ‘‘‘V’‘‘ é un espazo vectorial, e é unha base de V, entón existe unha única base de tal que

‘‘‘Definicións’‘‘:

chámase base dual de
chámase espazo dual de V

‘‘‘Corolarios’‘‘:

Teorema de representación dos funcionais lineares[editar]

Sexan ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, , con produto interno, e un funcional lineal. Entón existe un único vector , tal que , .

Demostrase aínda que

---++ Adxunta dun operador lineal

Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial.

O operador adxunto, , dun determinado operador lineal defínese pola igualdade:

Demóstrase que todo operador lineal posúe un e apenas un operador adxunto correspondente.

A partir da definición, podemos obter as seguintes consecuencias:

‘‘‘Proposición’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, , con produto interno. Sexa unha base ortonormal de ‘‘‘V’‘‘. Entón , onde

‘‘‘Corolario’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, , con produto interno. Entón, para calquera base ortonormal de ‘‘‘V’‘‘, temos que a matriz .

ÁLXEBRA LINEAL: 1. Matrices / 1a. Operacións elementais / 2. Espazo vectorial / 2a. Subespazo vectorial
3. Dependencia lineal / 4. Base, coordenadas e dimensión / 5. Produto interno e aplicacións / 6. Funcionais lineais
7. Operadores especiais / 8.Autovalores e autovectores / 9. Teoremas espectrais / 10. Formas bilineais e cuadráticas